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从一道赌博概率题说开去(一)

2013年7月3日 发表评论 阅读评论

最近网上有一道题很流行,题目是这样的:

你拿 10 块钱去赌场赌大小,你有两种玩法,一种是每次赌 10 块,一种每次赌 1 块,你决定都是输光或者赢到 100 块就走,则
A 两种方法输光的概率一样
B 第一种输光的概率较大
C 第二种输光的概率较大

不知道你的感觉如何 —— 你也许觉得要是赌 10 块的话一把就可能输光了,赌 1 块还可以搞许多把 —— 我们先把这个感觉放到一边,来分析一下这个情况到底是怎样的。

其实这个题目里面有一个很重要的条件,也许是作为“默认”了,就是“赌大小”这个游戏是一个公平博弈的游戏,也就是说玩家和庄家获胜的概率各半。当然事实上肯定不是这样的,否则庄家开赌场还赔吃赔喝做什么呢?这个我们暂且按下不表,先来看看公平的情况。

赌钱的这个过程可以看作是一个随机游走,就好像是一串随机轨迹,每一步都可能上行一步(赢钱)或者下行一步(输钱)。在“公平博弈”的情况下,假设某一时刻玩家的资金是 \(a\),那么再玩一局之后,由于胜负各半,那么玩家资金的数学期望仍然是 \(a\)。受这个公平博弈的模型的启发,发展出了一类非常重要的理论——鞅论。比较粗糙地说,就是一类“条件期望不变”的随机过程,已知时刻 \(n\) 之前的资金 \(X_0, X_1, \ldots, X_n\),则 \(n+1\) 时刻资金的条件期望还是 \(X_n\)。

因此,不管走多少步,玩多少局,手上资金的期望永远和最开始的资金相等—— 10 块。既然最后只有两种结局,输光和拿到 100 块离场,设赢钱的概率是 \(P\),则有

\[
P \cdot 100 + (1-P) \cdot 0 = 10
\]

得到 \(P = 10\% \)。所以不管你一把赌多少,输光的概率都是 90%。

拿 10 块钱指望赌到 100 块这事听起来就不怎么靠谱,那我要是拿 50 块钱,是不是就有 50% 的机会赌到 100 块呢?按说是的哈。可我们都知道赌场不是那么“公平”的,但庄家的胜面似乎也不是很大?欲知详情,且听下回分解。

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