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从一道赌博概率题说开去(二)

2013年7月4日 发表评论 阅读评论

接着上一篇的话题。上一篇我们谈到的一个重要前提,是说这个赌博是“公平”的,胜负概率各半。在公平博弈里,资金 \(X_n\) 的期望维持稳定,因此它是一个鞅。可实际上的赌场显然不是公平的,虽然很多游戏看起来离公平也并不太远,比如玩家的胜率是 \(p = 49\%\),庄家胜率是 \(51\%\) 之类。这时的条件期望
\[
\mathbb{E}[X_{n+1}|X_1, X_2,\ldots , X_n] = X_n + \big[ p \cdot 1 + (1-p) \cdot (-1) \big] \leq X_n
\] 是不断降低的,那么这个过程就称为一个上鞅。只要你一直玩一直玩,最后肯定会输得连内裤都不剩。

知道了这个不等式似乎还不太够——我们想知道能赢 100 块离场的概率。这个时候就需要构造一个新的鞅,稳定的东西才好解嘛。我们希望找到一个函数,使得
\[
\mathbb{E}[f(X_{n+1}) |X_1,X_2,\ldots,X_n] = f(X_n)
\]
已知每一次玩的胜率是 \(p\),令 \(q = 1-p\),那么一个满足条件的函数是这样的
\[
f(X_n) = (q/p) ^{X_n}
\]

假设每次赌 1 块钱,则 \(X_{n+1}\) 有 \(p\) 的概率成为 \(X_n +1\),\(q\) 的概率成为 \(X_n-1\),于是
\[
\begin{aligned}
\mathbb{E}[f(X_{n+1}) |X_1,X_2,\ldots,X_n] =& p (q/p)^{X_n+1} + q (q/p)^{X_n-1} \\
=& (q/p)^{X_n} \big[ p (q/p) + q(p/q)\big] = (q/p)^{X_n}
\end{aligned}
\]

因此 \(f(X_n) = (q/p) ^{X_n}\) 是一个鞅。如果我们拿 \(x\) 块钱来赌,每次赌 1 块钱,赢到 \(b\) 块钱或者输到 \(a\) 块钱离场,设赢钱的概率是 \(P\),那么
\[
(q/p)^x = (q/p) ^ b \cdot P + (q/p)^a \cdot (1-P)
\] 于是
\[
P= \frac{(q/p)^x -(q/p)^a}{(q/p)^b -(q/p)^a}
\] 上下同时除以 \((q/p)^b\),则
\[
P= \frac {(p/q)^{b-x} -(p/q)^{b-a}}{1 -(p/q)^{b-a}}
\] 注意到 \(p < \frac{1}{2} < q\),如果 \(b \gg a\),那么可以简化为 \[ P \approx (p/q)^{b-x} \] 好了,这时候就能看出微小胜面的影响了。如果你拿 50 块钱准备赢到 100 块离场,那么如果是公平的赌博,你最后赢钱的概率还有一半。可如果你的胜率是 49%,庄家是 51% 的话,你能赢到 100 块的概率就骤降到 \[ P = \frac {(p/q)^{50} -(p/q)^{100} }{1 -(p/q)^{100}} = 0.1192 \] 嘿嘿,所以庄家总是大赢家~赌客是没有希望的~ 不过,如果明知这种情况,有没有办法提高自己的胜率呢?这时就该回到前面说的赌注大小的直觉了。我们留到明天再谈。

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