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从一道赌博概率题说开去(四)

2013年7月5日 发表评论 阅读评论

你也许已经注意到,前面谈到非公平赌博的时候每次都是赌 1 块钱。要是加大赌注会不会有影响呢?

如果每次下的赌注为 \(s\) 的话,我们只需要把前面的函数 \(f(X_n)\) 稍做变形,写作
\[
f(X_n) = (q/p)^{X_n/s}
\] 就可以保证 \(\mathbb{E}[f(X_{n+1}) |X_1,X_2,\ldots,X_n] = f(X_n)\) 了。证明十分直观我就不赘述了。于是赢钱的概率 \(P\) 就变成了
\[
P= \frac {(p/q)^{(b-x)/s} -(p/q)^{(b-a)/s}}{1 -(p/q)^{(b-a)/s}}
\]

还看前面那个拿 50 块钱打赌,赢够 100 块或输光离场的例子。如果每次的胜率还是 49%,每次赌 10 块钱,则最终赢钱的概率达到了 45.02%,离公平的 50% 不是太远了。这其实也好理解,赌注大了,轮数少了,赢钱的概率就会接近每一次的胜率;否则轮数越多,最终期望下降地越多。如果是第一讲中的那个拿 10 块钱来赌的,如果每次赌 10 块,赢到 100 块的概率还有 8.3%,而每次赌一块的话就只有渺茫的 0.9% 了。所以碰上对自己不利的赌局,孤注一掷其实是相对比较好的策略。如果是对自己有利的(下鞅),还是步步为营,点滴积累比较好。

那么大概我们要玩多少轮才会离场呢?我们需要构造一个带轮次数 \(n\) 的来求它的期望。构造函数 \(f(X_n) = X_n – (p-q) \cdot n\), \( p < q\),就会发现
\[
\begin{aligned}
&\mathbb{E}[f(X_{n+1}) |X_1,X_2,\ldots,X_n] \\
=& p (X_n+1) + q (X_n-1) – (p-q)\mathbb{E}[n+1] \\
=& (p+q) X_n + (p – q) – (p-q) \mathbb{E}[n] – (p-q)\\
=& X_n – (p-q) \mathbb{E}[n] \end{aligned}
\] 因此这也是一个鞅。知道了这一点,就可以列出方程来求 \(\mathbb{E}[n]\)
\[
x = \big[ P\cdot b + (1-P) \cdot a \big] – (p-q) \mathbb{E}[n] \] 其中 \(P\) 就是前面计算出来的赢率。

如果是公平的赌博,每一步是等概率地取到 +1 或者 -1,因此在 \(n\) 步之后累加起来 \(\mathbb{E}[X^2] = n\)。我们可以构造函数 \(f(X_n) = X_n^2 – n\),因它恒等于 0,也是一个鞅。这样就可以列出
\[
x^2 = P\cdot b^2 + (1-P)\cdot a^2 – \mathbb{E}[n] \] 于是
\[
\mathbb{E}[n] = \frac{x-a}{b-a} b^2 + \frac{b-x}{b-a} a^2 – x^2 = (a+b) x – ab – x^2 = (b-x)(x-a)
\] 所以如果是公平赌博,以 10 块钱开赌,每次赌 1 块需要 900 轮离场,赌 10 块则平均只需要 9 轮……赌钱也是个体力活啊,真是能消磨时间,怪不得那么多人乐此不疲。

好啦,这个专题就先写到这里,感谢你看我啰嗦这么多。更多的内容可以参考下列资料:

[1] Durrett, Rick. Probability: theory and examples.. Cambridge university press, 2010.
[2] Wolpert, Robert L. “Introduction to Martingales.” (2010).

  1. zhe wu
    2018年1月15日18:18 | #1

    大佬您用鞅论算出来的离场轮数公式和这位大佬用马尔可夫链算出来的离场轮数怎么计算结果差距这么大啊。。。
    【如果赌博输赢的概率都是50%,为什么长久赌博的人多会倾家荡产而不是收益均衡?】DavidCharge:… https://www.zhihu.com/question/63334274/answer/209932822?iam=a7900043920e5c952d89f2d1dfd6bcda?utm_source=com.android.mms&utm_medium=social (分享自知乎网)

  2. 犊犊
    2018年1月15日19:47 | #2

    @zhe wu
    并不矛盾呀,我这个结果是最简化的情况,你把他那个式子里面概率取 1/2,信贷取 0 再算一下嘛

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