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共射电路输入非线性失真的谐波分析

2010年11月7日 发表评论 阅读评论

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我们试对简单的共射电路输入非线性引起的失真做一分析。考虑如下基本电路:

设 \(v_1\) 为加在三极管 T 发射结上的交流电压,\(v_1 = V_1 \cos \omega t\)。设 \( V_{\text{BE}}\) 为直流偏置,于是加载在发射结上的交直流电压为 \(v_{\text{BE}} = V_{\text{BE}} + v_1\).

晶体管发射极电流和发射结电压关系为

\( i_{\text{E}} = I_{\text{ES}} \big({\rm e}^{\frac{v_{\text{BE} }}{V_{\rm T} }}-1\big)\approx I_{\text{ES}} {\rm e}^{\frac{v_{\text{BE} }}{V_{\rm T} }}\)

其中 \(I_{\rm ES}\) 为反向饱和电流。

将 \(v_{\rm BE}\) 代入此式,可得

\( i_{{\rm E}} = I_{{\rm ES}} {\rm e}^{\frac{V_{{\rm BE} }}{V_{\rm T}}}{\rm e}^{\frac{V_1 \cos \omega t}{V_{\rm T} }}=I_{{\rm ES}}{\rm e}^{\frac{V_{{\rm BE} }}{V_{\rm T} }}{\rm e}^{x\cos \omega t}\)

其中 \(x=V_1 / V_{\rm T}\).

又因根据傅里叶级数展开,有

\( {\rm e}^{x\cos \omega t} = {\rm I}_0 \left( x \right) + 2\displaystyle\sum_{n=1}^\infty {{\rm I}_n } \left( x \right)\cos n\omega t\)

式中 \( {\rm I}_n(x)\) 是 \( n\) 阶、自变量为 \( x\) 的第一类修正 Bessel 函数。以此整理前式可得

\( i_{{\rm E}} = I_{{\rm ES}} {\rm e}^ \frac{V_{{\rm BE} }}{V_{\rm T} }{\rm I}_0 \left( x \right)\left[ {1 + 2\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty {\dfrac{{\rm I}_n \left( x \right)}{{\rm I}_0 \left( x \right)}} \cos n\omega t} \right]\)

此即可求出各次谐波幅度。对于很小的 \(x\),比如我们取 \(V_1 \leqslant 2.6{\rm mV}\),由修正 Bessel 函数的小宗量近似,有

\( \dfrac{2{\rm I}_1 \left( x \right)}{{\rm I}_0 \left( x \right)} \approx x = \dfrac{V_1 }{V_{\rm T}}\)

因而还可近似线性。那对于较大的 \(x\),求出各次谐波幅度后(一般求二次即可),可代入总谐波失真定义式

\({\rm THD} = \dfrac{1}{V_1} \sqrt{\displaystyle\sum_{n=2}^\infty{V_n}^2}\)

由于 \({\rm I}_0\) 是直流项,因此实际上就是

\( {\rm THD} = \dfrac{1}{{\rm I}_1(x)}\sqrt{\displaystyle\sum_{n=2}^\infty{{\rm I}_n(x)}^2}\)

这里我们仿真算一个例子。为了方便起见,我们直接取 \(V_1 = V_{\rm T} = 26{\rm mV}\),即 \(x = 1\)。
至于怎么算 \({\rm I}_n\),我个人推荐使用 Wolfram Alpha,也就是 Mathematica 的 BesselI[n, x] 函数,查出来

\( {\rm I}_1(1) = 0.565159\)
\( {\rm I}_2(1) = 0.135747\)
\( {\rm I}_3(1) = 0.022168\)

代进去算出来,THD 是 24.337%。

来看仿真:红色线是输出,蓝色线是输入,这已经是非常明显的失真了。

如果要改善这个输入线性范围,自然,可以在基极上串入适当大小的电阻,常用为 1k。具体分析不再赘述。

  1. Kai
    2010年11月7日16:36 | #1

    James你太猛鸟。。。
    工作之余同时研究这个。。

  2. 一叶扁舟
    2011年3月22日03:00 | #2

    基于泰勒展开及初等函数分析总谐波失真
    元增民
    仿真计算的关键是Rb等参数整定。至于仿真计算过程,那是系统程序的事情,一般用户并不操心。不过简单讨论一下,有益于对高次谐波有一个较为具体的认识,并有益于了解Multisim的内部工作原理,饭余茶后聊一聊,总比那云雾缭绕好一些。
    基本共射放大电路图参见网上文件“元增民老师PPT”。设发射结偏置电压为Ube,忽略偏置电阻Rb对信号源的分流,晶体管发射结总电压可设为
    νbe=U be+Esmcosωt
    令信号源内阻为零,设发射极反向饱和电流为Ies,则发射极总电流可用肖克莱方程表示为
    ie=I se[exp(νbe/UT)-1]
    ie=I se[exp(Ube/UT)exp(Esm/UTcosωt)-1]
    UT为温度的电压当量,常温下UT=26mV
    设Esm/UT=x,则
    ie=I se[exp(Ube/UT )exp(xcosωt)-1]
    指数函数exp(x)可展开为泰勒级数
    exp(x)=1+x+(x^2)/2!+(x^3)/3! +(x^4)/4!+……
    指数函数exp(xcosωt)亦可展开为泰勒级数
    exp(xcosωt)=1+xcosωt+(x^2)/2cosωt^2+(x^3)/6cosωt^3 +(x^4)/24cosωt^4+……
    按照初等函数原理
    cosωt^2=0.5(1+cos2ωt)
    cosωt^3=cosωtcosωt^2=cosωt[0.5(1+cos2ωt)]
    cosωt^3= 0.5cosωt+0.5cosωtcos2ωt
    ∵ cos3ωt=cosωtcos2ωt-sinωtsin2ωt
    ∴ cosωtcos2ωt=cos3ωt+sinωt[2sinωtcosωt]
    cosωtcos2ωt=cos3ωt+2(sinωt^2)cosωt
    cosωtcos2ωt=cos3ωt+(1-cos2ωt)cosωt
    ∴ cosωtcos2ωt=0.5(cosωt+cos3ωt)
    cosωt^3=0.5cosωt+0.25(cosωt+cos3ωt)
    ∴ cosωt^3=0.75cosωt+0.25cos3ωt
    cosωt^4=[0.5(1+cos2ωt)]^2=0.25+0.5cos2ωt+0.25cos2ωt^2
    cosωt^4=0.25+0.5cos2ωt+0.125+0.125cos4ωt
    cosωt^4=0.375+0.5cos2ωt+0.125cos4ωt
    ∴exp(xcosωt)=1+xcosωt+0.5x^2[0.5(1+cos2ωt)]+x^3(3/4cosωt+
    +(x^3/6)(1/4cos3ωt)+(x^4)/24[3/8+0.5cos2ωt+0.125cos4ωt]+……
    exp(xcosωt)=1+(x^2)/4+(x^3)/24+(x^4)/64+
    +[x+(x^2)/8]cosωt+[0.25x^2+ (x^4)/48]cos2ωt+
    +[(x^3)/24]cos3ωt+[(x^4)/192]cos4ωt+……
    Esm=UT即x=1时
    exp(xcosωt)=1.3073+1.125cosωt+0.2708cos2ωt+
    +0.04167cos3ωt+0.005208cos4ωt+……
    以二、三次谐波计算总谐波失真THD
    THD=SQRT(0.27082+0.041672)/1.125=0.2435=24.35%
    若计入四次谐波,则
    THD=SQRT(0.27082+0.041672+0.0052082)/1.125=0.2436=24.36%
    可见四次谐波影响很小,通常不必计入。
    设Rc=1kΩ,RL=10kΩ,则应取Rb=β(Rc+Rc//RL)=100(1+1//10)kΩ≈190kΩ。因负载电压就是集电极电流即发射极电流的分流及安伏变换,所以输出负载电压失真与发射极电流失真相同。Multisim仿真时将虚拟失真仪接在负载上端,仿真结果为THD=24.37%。
    Esm=0.1UT即x=0.1时
    exp(xcosωt)=1.0025+1.100125cosωt+0.002502cos2ωt+
    +0.00004167cos3ωt+0.0000005cos4ωt+……
    此时总谐波失真THD为
    THD=SQRT(0.0025022+0.000041672)/0.100125=0.0250=2.5%
    Multisim仿真结果为THD=2.509%
    分析表明,Multisim仿真其实就是用一些数学模型及用户给定的已知条件进行计算,然后利用计算机无量的存储器和强大的图形功能直观地显示结果。但是仿真只是一个比计算器更高级一点的工具,无论如何是不能代替大脑的思维的。

    • 2011年3月22日12:57 | #3

      这个方法可以,相对来说比较通用,不考虑高次项里面的低次谐波。60年代有几篇文章算过这个的。
      仿真的原理不是猜出来的。不因为它算出来结果和你相近,就说明原理是一样的,这是很简单的逻辑问题。
      你把失真仪接上去,做的是瞬态仿真,应该可以注意到刚开始时候失真仪上的数字和稳定以后的是不一样的。失真仪做的事情是对瞬态仿真的结果做Fourier变换,然后求出谐波项进而求出失真度,显然这种方法可以对任何波形做分析,而根本不是直接来套数学模型的。

  3. 一叶扁舟
    2011年3月24日22:29 | #4

    对“基于泰勒展开及初等函数分析总谐波失真”的补充
    元增民
    根据傅里叶级数可以直接求出THD的解析计算式
    exp(xcosωt)=1+(x^2)/4+(x^4)/64+
    +[x+(x^3)/8]cosωt+[0.25x^2+ (x^4)/48]cos2ωt+
    +[(x^3)/24]cos3ωt+[(x^4)/192]cos4ωt+……
    可以直接求出THD的解析计算式
    THD=x SQRT(2304+384x^2+80x^4+x^6)/(192+24x^2)
    若x=Esm/UT=1,则
    THD=1×SQRT(2304+384+80+1)/(192+24)
    = SQRT(2769)/(216)=0.24362
    与实际仿真结果0.2437的相对误差
    (0.2437-0.24362)/0.24362=0.0003=0.03%
    说明一下,上文中偏置整定计算Rb=β(Rc+Rc//RL)=100(1+1//10)kΩ≈190kΩ取自拙书《模拟电子技术》第72页。按照这种工作点整定方法,不仅放大器输出摆幅(输出范围)最大,而且自然有利于使THD最小。

    • 2011年3月24日23:43 | #5

      这式子高次项里的低次谐波都没了?能直接画等号?
      没什么新东西就别翻来覆去发了,就为凑个数字有什么意思呢

  4. 西北风
    2011年4月8日07:00 | #6

    高次项里既有基波等低次谐波,又有高次谐波。忽略整个高次项就是忽略了所有少量谐波。忽略所有谐波,属于比较公平的忽略。只忽略高次谐波,属于带有偏向性的忽略,平等公平的忽略的效果自然优于带有偏向性的忽略,这是其一。
    幂次越高,系数越小,权重越小,所忽略的所有谐波的影响自然就越小,这是其二。
    据计算,忽略高次项cos5∧ωt和cos6∧ωt,基波损失只有不足0.5%,同时大体上成比例丢掉了二、三次等高次谐波,所以对THD计算精度的影响微乎其微。
    整个讲,这种通用方法就谐波看是比较公平的忽略,而且忽略的是影响较小的高次项,所以取较少项,就能获得很高的计算精度。
    对比起来,用Bessel函数方法虽然不损失低次谐波,但因为实际计算时肯定要忽略高次谐波,因此就谐波的处理看,属于带有偏向性的忽略,实际计算精度自然比较低。使用Bessel函数方法计算THD要想获得高精度,唯有多取几个小宗项高次谐波。

    • 2011年4月8日09:08 | #7

      Bessel级数收敛很快,算4次项就收敛到24.3424%,算10次项也一样
      这是分析三极管的标准方法,何况这里只考虑输入失真,拿仿真结果凑数字不觉得可笑么

    • 2011年4月8日10:55 | #8

      其实你有空可以算一下,只不过是我估计你嫌麻烦不搞了而已,但怎么收敛看不出来么?同一个级数展开,收敛到最后都是一样的,Bessel级数是单调收敛的,而你这个方法偶数项里面没有基波,不是单调收敛的,明显要麻烦死

      比如说你算四项展开,算出来是
      \(\frac{1}{192}(243 + 216 \cos x + 52 \cos 2x + 8 \cos 3x + \cos 4x )\)
      所以算下来是24.362%
      如果你算五项展开,是
      \(\frac{1}{1920}(2430 + 2170 \cos x + 520 \cos 2 x + 85 \cos 3 x + 10 \cos 4 x + \cos 5 x)\)
      算下来是24.286%
      如果你算六项展开,是
      \(\frac{1}{23040}(29170 + 26040 \cos x + 6255 \cos 2 x + 1020 \cos 3 x + 126 \cos 4 x + 12 \cos 5 x + \cos 6 x)\)
      是24.342%
      七项的话,是
      \(\frac{1}{322560}(408380+ 364595 \cos x + 87570 \cos 2 x + 14301 \cos 3 x + 1764 \cos 4 x + 175 \cos 5 x + 14 \cos 6 x + \cos 7 x)\)
      结果是24.3415%
      您有闲心可以继续

  5. 元增民
    2011年4月9日04:13 | #9

    不是“嫌麻烦不搞了”,是没有必要性。还有,书是为读者服务的,写书要考虑读者,自然应当优先选用简便有效的方法。
    这个电路例子是你给出的,仿真也是你极力提倡的,人家也是照这个例子展开讨论的,这咋能说是凑数呢?
    至于失真种类,目前还没有谁确认除了非线性输入失真之外还有别的失真。等你啥时候发现了别的失真就摆在这里,让大家共同欣赏。
    大家知道,奇次幂项包含基波等奇次谐波,偶次幂项包含直流分量及二次谐波等偶次谐波,其中对失真影响最大的是基波与二次谐波。
    表 泰勒展开各次幂项所含二次谐波与基波的比及权重
    1、2次幂项 3、4次幂项 5、6次幂项
    所含二次谐波与基波的比 1/4 1/6 1/8
    权重 1,1/2 1/6,1/24 1/120,1/720
    用奇项展开,虽然保留了相应的基波,但是却把对应的那一部分二次谐波丢掉了,所以必然降低THD计算精度。你看你那五项展开的精度反而比不上四项展开,七项展开的精度反而比不上六项展开。三项展开的精度更是明显低于两项展开!
    一般地,(2n+1)项展开反而没有(2n)项展开的效果好。
    若按照偶项展开,则单调收敛亦很快,一点也不“麻烦”。因此应当用偶项展开。粗略估计THD时用二项展开即可,要求正规分析计算时用四项展开足以,六项展开一般就无必要。五项或七项等奇次展开都是不明智的。
    取四项展开进行分析,THD计算误差已经只有0.08%,大家看还有什么必要继续增加项次呢?
    实际用四项展开,而且舍去四次谐波,可以得到以相对输入x为自变量的THD计算公式
    THD=x SQRT(144+28x^2+x^4)/(48+6x^2)
    x=1时计算总谐波失真
    THD=1×SQRT(144+28+1)/(48+6)=SQRT(173)/54=24.357%
    只要给定x,就可以快速计算出总谐波失真。
    这用两条腿就能走过的路,为什么非要坐飞机呢?
    不过无论如何,谁愿意用Bessel函数那“麻烦死”的复杂方法,还有那“方波”法,谁就用去呗,学术自由吗。

    • 2011年4月9日10:46 | #10

      不用狡辩了,核心问题是级数必然收敛到我给的结果,而不是你的结果
      你怎么不比较一下6项和4项的结果呢?
      拿你的仿真结果做标尺,算到哪项靠得近就算哪个,还想舍掉谁就舍掉谁,这不是凑数字是什么?
      至于其它的失真么,呵呵再次展示元教授的无知啊,自己看书去吧,没兴趣教你

  6. 元增民
    2011年4月9日19:54 | #11

    这里是讨论电子工程,不是讲数学!

    看明白了,不是我想舍去哪项就舍去哪项,是我要尽可能简化计算公式,好让读者省劲。

    对这样一个rs=0的模型,4项计算误差已经降到了0.08%,我是不用6项的。

    不过你愿意用6项就去用去呗!包括你那5项、7项展开,你都可以尽情享用。还有那Bessel函数法,还有那“方波”法。

    没有人干涉你的学术自由,大家平心气和地讨论学术,你发什么污毒?有本事你去突破那4V红线,有本事你用那“方波”法做一个Rb1、Rb2摆出来给大家看看!

    • 2011年4月9日22:46 | #12

      哈哈,玩不来数学就不要玩么,没人逼你。要不是某些人凑出来个结果就在这得瑟精度高了,我才懒得矫情这点误差
      6项结果比4项小,照你的算法岂不是误差更大了?整个级数奇偶项振荡收敛,但结果只有一个,可惜不是你那个
      你再换10个题也只能进一步说明你无知,别天天在这自取其辱了

  7. 元增民
    2011年4月14日07:32 | #13

    你用那Bessel方法单调收敛,别人用偶次泰勒展开也单调收敛,你没有理由干涉别人!
    我已经客气地讲过,用奇次项展开是不明智的。你如此不讲理,那我就坦率地说,用5次、7次等奇次项展开是愚蠢的。4次展开就足够了却非要6次展开,更加愚蠢一等!
    我就是用这根据四项泰勒展开并省去四次谐波得来的简单公式了,我的《模拟电子技术》中比这更简单且有效的方法还多的是!
    你愿意用那“Wolfram Alpha,也就是 Mathematica 的 BesselI[n, x] 函数”,或者用那5次、6次、7次等展开,你就用去呗!

    四伏的红线超不过,
    Rb1、Rb2算不出。
    算个球THD非拿Bessel,
    只可惜,
    你别玷污了Bessel!
    至于“教别人”,
    还是等到你闯过了四伏红线、
    用“方波”算出了Rb1、Rb2的那一天再来得瑟!

    • 2011年4月14日07:51 | #14

      什么叫“足够”?同一个式子不同展开结果必然是一样的,不用自欺欺人了。你要搞清楚,不单调收敛也是逐项误差减小的。退一步说,偶次展开可以啊,元大教授怎么没解释解释为什么6次比4次偏离你那个结果还多呀?结果越来越小最后收敛结果也是我那个啊,但收敛比Bessel函数慢很多啊,人家查一下表的事情你自己慢慢背那堆系数吧。你那个“精度”到底是个什么玩意啊?
      装个斯文还装不来,已经迫不及待开始骂我愚蠢了哈哈。当然啦,元教授终于知道什么叫“球”THD,什么叫Bessel函数了,不管是不是我教的吧,比起最开始的时候,还是应该看到进步的嘛
      求那俩电阻实在没什么搞头,所有书上都有。至于你“方法多得是”,从炫耀的那几个“成果”已经大致知道是什么水平了,你愿意搞十个公式出来觉得是个成果就自己慢慢背吧

  8. 元增民
    2011年4月15日04:17 | #15

    ① 不用你说,那叫做振荡收敛。
    ② 何须你退一步说,偶次展开本来就是可以的,而且单调收敛优势明显。我一直坚持用的就是偶次展开。
    ③ 你一边说Multisim如何如何好,你又说要以你的那个为准,你那个算老几呀?相对计算误差只剩0.1%左右,继续显摆收敛有什么实际意义呢?
    不过,你要是早“收敛”一点儿,也不至于今天如此丢人败兴!
    ④ 你睁开眼睛看清楚了,我那个方法只需要一个简单的公式:
    “THD=x SQRT(144+28x^2+x^4)/(48+6x^2)”
    就可以计算THD,误差在0.1%以内。
    这个公式,3月24日就已经摆在这里了,4月9日又进行了优化,你看清楚了!
    至于那堆像臭裹脚布一样长的系数,还是“你自己慢慢背”\“慢慢用”去吧。
    ⑤ 骂人是你去年10月份就开始的,全世界都看到了您的拙劣行径。你不是想抹黑我和我的书吗,不怕是闪了你的乌鸦舌,你就骂你就抹。不过我正告你,乌云难遮太阳!
    我始终坚持先解决削平失真、后对付非线性失真的思路和做法!坚持采用三角函数方法,坚持确定工作点时理论上用电流源输入,实际上用较大内阻的电压信号源。Multisim平台上真的可以这样做,这决非你所恶意贬低的“伪电流源”。这是真的,只不过实际上电流信号源不好做,所以用较大内阻的电压信号源,这是大家的一致做法。我写的书有人需要有人看!
    不是骂你愚蠢,是你真的愚蠢至极,当一个知识分子怎么能像一个禽兽流氓长那三瓣嘴唇两幅脸皮呢?
    ⑥ “那俩电阻”说起来所有书上倒是都有,但阻值都是直接给出的,经验数值,究竟能获得多大的输出摆幅,鲜见有人讨论,让人丈二和尚摸不着头脑,实际上等于没给。
    不是“实在没什么搞头”,是你那个臭德行,搞不出什么就说什么没意思,甚至贬低。曾几何时,你对4V输出电压摆幅不就如此对待吗?搞不出就贬低,你这个德性,全世界都看到了。
    ⑦ 实在不愿意说,又不得不说,Rb1、Rb2在元增民《模拟电子技术》上早已经用三角函数计算出来,而且知道能获得多大的输出摆幅,而且有实验为证。
    ⑧ 你不是显摆你那个“方波”法,你就用你那个“方波”法计算Rb1、Rb2给大家看看!

    • 2011年4月15日09:06 | #16

      研究一个级数,显然应该以近似值相对于它自身的真实值定收敛快慢。谈论一个方法,显然应该用真实值相对实验值来评价,这是常识。
      同一个式子不同展开的结果显然是一致的,这更是常识。既然你知道什么叫振荡收敛,怎么解释五次和六次比四次误差大?显然标准是错的。所以你所谓的0.1%完全就是凑了一个结果而已。
      我针对的是我见到的ppt和书评的一些荒诞说法,至于你的书需不需要有人看,不在我关心之列
      小信号放大器谈论的是电压信号而非电流信号,骂人只展现气急败坏,这也是常识
      摆幅实在不知道有什么可搞的,你用正弦也好方波也好算的都是输出回路,算出来集电极电流都是一样的,这状态就算定下来了,就算加个( R_{\rm E})也就是多一项插进去而已。至于你前面是接一个单个偏置还是两个电阻偏置还是拿什么别的偏置和这个有什么关系?电流定下来以后你前面分压分流算一下不就定出电阻来了么?至于你愿意定大定小无非就是功耗和稳定性而已
      试图转移话题掩盖无知只能体现更多的无知

  9. 元增民
    2011年4月16日02:07 | #17

    ① 那篇PPT只是不合你口味而已,然后你不愿意看。不过告诉你,有人愿意看。
    ② 既然我的书不在你关心之列,那你在卓越网、豆瓣网发那些厥词干什吗?你是痴了还是疯了?至于书评,都是读者所需要的基本信息。那一条不符合事实你可以指出!要说就说一些上路的话,否则就闭上你的臭嘴!
    ③ 任何概念大家都有权评价,何况那小信号放大器概念还不是你创立的。要真是你创立的,你这还不疯了!
    ④ 我用的偶次展开具有单调收敛性,四次展开去掉四次谐波所得到的THD计算公式,不仅简单好用,而且计算精度已经足够高。我这个“收敛慢”,我用我的。你那个“收敛快”,还有那五次、六次、七次展开,大家都看见了,那些又长又臭的裹脚布,不看书就要抹黑书,“骂人”、“气急败坏”、“荒诞”、还有您那三瓣嘴唇两副脸皮,尤其是那挂在您嘴边的“无知”,都是你的专利!还有那“小信号放大器概念”,你愿意用,你就用去呗!
    ⑤ 输出摆幅这苹果“酸不溜秋”,你还想它干啥?你这三瓣嘴唇两副脸皮的臭流氓!那个基本共射放大器Ucc=12V、Rc=RL的输出摆幅就是4V,就你这猥琐德性,你休想突破!直到你咳血去!
    ⑥ 基本共射放大器中的Rb目前书上也都有,但是你为啥还用那“方波法”计算这Rb呢,怕不是显摆得瑟呢?分压偏置放大器中的Rb1、Rb2以及共基放大器中的Rb1、Rb2也都是这么一回事儿。理屈词穷了就说别人掩盖话题。说要求计算Rb1、Rb2这个题不是别人给你出的,而是你自己给你自己出的!你还是回到你家向劳五一副教授爸爸讨教讨教,等到你用那“方波法”计算出Rb1、Rb2的那一天,再来显摆得瑟!

    • 2011年4月16日02:31 | #18

      除了辱骂还会什么呢,元大教授?歇了吧,啊
      看看你算个展开那个费劲,搞半年搞出来一个,连收敛目标都搞不清楚,也号称简单好用?裹脚布截短了还是裹脚布
      我哪敢和您比显摆得瑟啊,算俩偏置电阻也要人手把手教的填补了空白的大教授?是谁在我这篇谐波分析的文章下面得瑟偏置电阻啊?

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