从一道赌博概率题说开去（四）

你也许已经注意到，前面谈到非公平赌博的时候每次都是赌 1 块钱。要是加大赌注会不会有影响呢？

如果每次下的赌注为 \(s\) 的话，我们只需要把前面的函数 \(f(X_n)\) 稍做变形，写作
\[
f(X_n) = (q/p)^{X_n/s}
\] 就可以保证 \(\mathbb{E}[f(X_{n+1}) |X_1,X_2,\ldots,X_n] = f(X_n)\) 了。证明十分直观我就不赘述了。于是赢钱的概率 \(P\) 就变成了
\[
P= \frac {(p/q)^{(b-x)/s} -(p/q)^{(b-a)/s}}{1 -(p/q)^{(b-a)/s}}
\]

还看前面那个拿 50 块钱打赌，赢够 100 块或输光离场的例子。如果每次的胜率还是 49%，每次赌 10 块钱，则最终赢钱的概率达到了 45.02%，离公平的 50% 不是太远了。这其实也好理解，赌注大了，轮数少了，赢钱的概率就会接近每一次的胜率；否则轮数越多，最终期望下降地越多。如果是第一讲中的那个拿 10 块钱来赌的，如果每次赌 10 块，赢到 100 块的概率还有 8.3%，而每次赌一块的话就只有渺茫的 0.9% 了。所以碰上对自己不利的赌局，孤注一掷其实是相对比较好的策略。如果是对自己有利的（下鞅），还是步步为营，点滴积累比较好。

那么大概我们要玩多少轮才会离场呢？我们需要构造一个带轮次数 \(n\) 的来求它的期望。构造函数 \(f(X_n) = X_n – (p-q) \cdot n\), \( p < q\)，就会发现
\[
\begin{aligned}
&\mathbb{E}[f(X_{n+1}) |X_1,X_2,\ldots,X_n] \\
=& p (X_n+1) + q (X_n-1) – (p-q)\mathbb{E}[n+1] \\
=& (p+q) X_n + (p – q) – (p-q) \mathbb{E}[n] – (p-q)\\
=& X_n – (p-q) \mathbb{E}[n] \end{aligned}
\] 因此这也是一个鞅。知道了这一点，就可以列出方程来求 \(\mathbb{E}[n]\)
\[
x = \big[ P\cdot b + (1-P) \cdot a \big] – (p-q) \mathbb{E}[n] \] 其中 \(P\) 就是前面计算出来的赢率。

如果是公平的赌博，每一步是等概率地取到 +1 或者 -1，因此在 \(n\) 步之后累加起来 \(\mathbb{E}[X^2] = n\)。我们可以构造函数 \(f(X_n) = X_n^2 – n\)，因它恒等于 0，也是一个鞅。这样就可以列出
\[
x^2 = P\cdot b^2 + (1-P)\cdot a^2 – \mathbb{E}[n] \] 于是
\[
\mathbb{E}[n] = \frac{x-a}{b-a} b^2 + \frac{b-x}{b-a} a^2 – x^2 = (a+b) x – ab – x^2 = (b-x)(x-a)
\] 所以如果是公平赌博，以 10 块钱开赌，每次赌 1 块需要 900 轮离场，赌 10 块则平均只需要 9 轮……赌钱也是个体力活啊，真是能消磨时间，怪不得那么多人乐此不疲。

好啦，这个专题就先写到这里，感谢你看我啰嗦这么多。更多的内容可以参考下列资料：

[1] Durrett, Rick. Probability: theory and examples.. Cambridge university press, 2010.
[2] Wolpert, Robert L. “Introduction to Martingales.” (2010).