快两个月没更新了，成天瞎忙…… 我们来看一个简单的题目吧，选自俄罗斯大神阿诺德（Влади́мир И́горевич Арно́льд）出的一百道题。[1] 题目是这样的：

一位游戏者藏起一枚 10 戈比或 20 戈比的硬币，另一位游戏者猜。猜对了就可以把硬币赢走，猜错了就要付出 15 戈比。这是个公平的游戏吗？双方最佳的混合策略是怎样的？

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试问：任取两个自然数，它们互质的概率是多少？即以等概率取两个自然数 \( x, y \in \{1,2,\ldots,n\}\)，令 \( P_2(n)\) 是 \(x\)、\(y\) 互质的概率，求 \(\lim_{n\to \infty} P_2(n)\) 。

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这道题的原题来自于 Project Euler 389。

扔一个均匀的四面体色子，记下点数 T；
扔 T 个均匀的六面体色子，把所有的点数加起来，记为 C；
扔 C 个均匀的八面体色子，把所有的点数加起来，记为 O；
扔 O 个均匀的十二面体色子，把所有的点数加起来，记为 D；
扔 D 个均匀的二十面体色子，把所有的点数加起来，记为 I；
求 I 的方差。

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你也许已经注意到，前面谈到非公平赌博的时候每次都是赌 1 块钱。要是加大赌注会不会有影响呢？

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接着上一篇的话题。上一篇我们谈到的一个重要前提，是说这个赌博是“公平”的，胜负概率各半。在公平博弈里，资金 \(X_n\) 的期望维持稳定，因此它是一个鞅。可实际上的赌场显然不是公平的，虽然很多游戏看起来离公平也并不太远，比如玩家的胜率是 \(p = 49\%\)，庄家胜率是 \(51\%\) 之类。这时的条件期望
\[
\mathbb{E}[X_{n+1}|X_1, X_2,\ldots , X_n] = X_n + \big[ p \cdot 1 + (1-p) \cdot (-1) \big] \leq X_n
\] 是不断降低的，那么这个过程就称为一个上鞅。只要你一直玩一直玩，最后肯定会输得连内裤都不剩。

知道了这个不等式似乎还不太够——我们想知道能赢 100 块离场的概率。这个时候就需要构造一个新的鞅，稳定的东西才好解嘛。我们希望找到一个函数，使得
\[
\mathbb{E}[f(X_{n+1}) |X_1,X_2,\ldots,X_n] = f(X_n)
\] Continue reading “从一道赌博概率题说开去（二）” →