有一个很有意思的问题是这样的：说有一片树林是 38 棵树排成一圈，有 11 只鸟住在这片树林里，每天晚上都会回来。试证明一定存在相邻的 7 棵树上至少住着 3 只鸟。
这个问题乍看起来… 跟概率没什么关系。但是如果我们定义一个随机变量，就可以很容易用数学期望来解决它。
为什么会用到数学期望呢？因为数学期望有一个很重要的性质：线性性质。也就是说，若干随机变量和的期望等于其期望的和。这个性质的强大之处在于它不关心随机变量 \(X_i\) 是不是相互独立。即设 \(X_1, X_2, \ldots, X_n \) 为随机变量，\(X = c_1X_1 +c_2 X_2 +\cdots + c_nX_n\)，我们有
\[
\mathbb{E}[X] = c_1 \mathbb{E}[X_1] + c_2 \mathbb{E}[X_2] + \cdots + c_n \mathbb{E}[X_n]
\]
我们还会用到一个事实，就是在概率空间中，必定存在一个点使得 \(X \geq \mathbb{E}[X] \)，也必定存在一个点使得 \(X \leq \mathbb{E}[X] \)。这个性质就是数学期望的抽屉原理。
工具准备好了，我们先给这些鸟编上号 1 ~ 11，然后随便选取某相邻的 7 棵树。定义一个变量 \(X_i\), \(i = 1,2,\ldots, 11\)，如果第 \(i\) 只鸟住在选中的这 7 棵树上就取 1，反之取 0。那么这 7 棵树上鸟的总数就是
\[
X= \sum_{i=1} ^ {11} X_i
\]
因为每只鸟住在每棵树上的概率都是 \(\frac{1}{38}\)，所以
\[
\mathbb{P}(X_i = 1) = \frac {7}{38}, \quad i = 1,2,\ldots,11
\]
于是就有
\[
\mathbb{E}X = \sum_{i=1} ^{11} \mathbb{E}X_i = \frac{7 \times 11}{38} = \frac{77}{38} > 2
\]
这就说明肯定存在相邻的 7 棵树上至少住着 3 只鸟～
[1] Jukna, Stasys. Extremal combinatorics: with applications in computer science. 2nd ed. Springer, 2011. [2] 苏淳. 概率论. 科学出版社, 2004.