平均投几个三分才会连续进 3 个？

今天男篮对澳大利亚虽然输了，但是王仕鹏表现神勇，三分球 10 投 7 中拿下 21 分；梦十对尼日利亚，安东尼更是有如神助，出场 16 分钟，三分球 12 投 10 中！可是平常看 NBA 比赛，不要说 10 中了，一个人连进三个三分都不常见。那平常要扔多少个三分才能看到一次连中三元呢？

这是一个经典的概率问题了。也有很多更为经典的提法，比如说平均要扔几次硬币才会连续出现两个正面。设投三分球命中率是 \(p\)，需要连进 3 个，投球数的期望是多少？

球是一个一个投的，需要逐个累积，一旦投失就清零，投到 3 个就算完成。我们把正在累积的进球数作为状态，这个状态转移的过程可以用 Markov 链来描述。先来看比较简单的情况，比如只要求投进一个就罢手。那么用有限状态机画出来就是下面这个样子：

我们需要从状态 0 转移到状态 1。假设 \(N_1\) 是投进一个时平均需要投篮的次数。那么如果第一投进了（概率 \(p\)），就可以直接转移；但如果没有进（概率 \(1-p\)），这一次就白投了，又回到了平均要投 \(N_1\) 次的状态。由此可以得出一个方程：

\[
N_1=p\cdot 1 + (1-p)(1+N_1)
\].

解这个方程就可以得出结果

\[
\displaystyle N_1=\frac{1}{p}.
\]

如果需要连进两个的话，就是下图这个样子

设我们需要平均需要扔 \(N_2\) 次。如果连进两个（概率 \(p^2\)），我们就转移完成，这时需要两步。如果第一个进了（概率 \(p\)），但是第二个没进（概率 \(1-p\)），这就白投了两次重头开始。如果连第一个都没有进，我们就浪费了一步，回到了最开始的状态。由此列出方程

\[
N_2=p^2\cdot 2 + p(1-p)(2+N_2) + (1-p)(1+N_2)
\]

解出来

\[
\displaystyle N_2=\frac{1+p}{p^2}.
\]

类似地对于连进 3 个的情况：

列出方程

\[
N_3=p^3\cdot 3 + p^2(1-p)(3+N_3) + p(1-p)(2+N_3) + (1-p)(1+N_3)
\]

于是

\[
\displaystyle N_3=\frac{1+p+p^2}{p^3}.
\]

这就是我们想要的答案。如果推广到连续进 \(n\) 个的情况呢？

假设我们已经连续进了 \(n-1\) 个，已经扔了 \(N_{n-1}\) 次，那接下来有两种转移状态：一种是又扔进了一个（大功告成），一种是没扔进（功亏一篑、功败垂成、前功尽弃、呼天抢地、捶胸顿足、徒呼奈何），前面的 \(N_{n-1}\) 个连同这一个都白扔了。于是我们列出方程

\[
N_n=p\cdot (N_{n-1}+1) + (1-p)(N_{n-1}+1+N_n)
\]

因此

\[
\displaystyle N_n=\frac{N_{n-1}+1}{p}.
\]

再观察一下前三个结果，很容易猜想

\[
\displaystyle N_n=\frac{1+p+p^2+\cdots+p^{n-1}}{p^n}.
\]

加上上面的递推公式，简单的归纳法就知道这个结论是正确的。用上等比数列求和，可得

\[
\displaystyle N_n=\frac{1-p^n}{p^n(1-p)}=\frac{p^{-n}-1}{1-p}.
\]

如果是扔硬币的话（\(p = 1/2\)），连续 \(n\) 个正面所需次数的期望就是 \(2^{n+1} – 2\)。如果命中率有 50%，平均也要扔上 14 次才行。NBA 的射手榜三分命中率都没有超过 .500 的，而一场中三分球出手 14 次的机会并不多。所以正常比赛情况下，一个人连中三元并不很常见，一旦出现真是大大鼓舞士气。当然，对手没有什么压力的情况下，命中率就大大的提高啦，我们才能看到 12 投 10 中这样的奇迹表现！